Fourier f(x)=|sin(x)| < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:24 Mo 16.05.2011 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | Geben sie die Fourier Koeffizienten von f(x)=|sin(x)| aj,bj und a0 an.
- [mm] \pi \le [/mm] x < [mm] \pi [/mm] |
Ich hab die Funktion gezeichnet..
Also die Funktion ist [mm] \pi [/mm] - periodisch.
Achsensymmetrisch und somit bj = 0
ao = [mm] \bruch{4}{\pi} \integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx}
[/mm]
= [mm] \bruch{4}{\pi} [/mm] ( 1 - [mm] cos(\pi)) [/mm] = [mm] \bruch{8}{\pi} [/mm]
aj = [mm] \bruch{4}{\pi} \integral_{0}^{\pi}{sin(x) cos(2jx) dx}
[/mm]
= [mm] \bruch{4}{\pi} [/mm] [ [mm] \bruch{-cos(2jx)*cos(x) - 2j*sin(2jx) * sin(x)}{1-4j^2} [/mm] ] Grenzen von 0 bis [mm] \pi
[/mm]
= [mm] \bruch{4}{\pi} [/mm] ( [mm] \bruch{1 + cos(2j\pi)}{1-4j^2})
[/mm]
Ist die Rechnung korrekt? Da es ja Achsensymmetrisch ist habe ich den die Funktion von 0 bis [mm] \pi [/mm] mal 2 genommen.
Kann ich [mm] cos(2j\pi) [/mm] ebenso wie [mm] cos(j\pi) [/mm] als [mm] (-1)^j [/mm] schreiben?
Ich habe noch eine allgemeine Frage:
Die Fourier Reihe von sin(x) oder cos(x) ist die Funktion selbst oder?
Vielen Dank
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Hallo zocca21,
> Geben sie die Fourier Koeffizienten von f(x)=|sin(x)| aj,bj
> und a0 an.
> - [mm]\pi \le[/mm] x < [mm]\pi[/mm]
> Ich hab die Funktion gezeichnet..
>
> Also die Funktion ist [mm]\pi[/mm] - periodisch.
>
> Achsensymmetrisch und somit bj = 0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> ao = [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{4}{\pi}[/mm] ( 1 - [mm]cos(\pi))[/mm] = [mm]\bruch{8}{\pi}[/mm]
Hier muss es lauten:
[mm]a_{0} = \bruch{4}{\blue{2}\pi} \integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx}[/mm]
,da die Funktion [mm]2\pi[/mm]-periodisch ist.
>
> aj = [mm]\bruch{4}{\pi} \integral_{0}^{\pi}{sin(x) cos(2jx) dx}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{4}{\pi}[/mm] [ [mm]\bruch{-cos(2jx)*cos(x) - 2j*sin(2jx) * sin(x)}{1-4j^2}[/mm]
> ] Grenzen von 0 bis [mm]\pi[/mm]
>
> = [mm]\bruch{4}{\pi}[/mm] ( [mm]\bruch{1 + cos(2j\pi)}{1-4j^2})[/mm]
>
> Ist die Rechnung korrekt? Da es ja Achsensymmetrisch ist
> habe ich den die Funktion von 0 bis [mm]\pi[/mm] mal 2 genommen.
>
> Kann ich [mm]cos(2j\pi)[/mm] ebenso wie [mm]cos(j\pi)[/mm] als [mm](-1)^j[/mm]
> schreiben?
Ja, klar.
>
> Ich habe noch eine allgemeine Frage:
> Die Fourier Reihe von sin(x) oder cos(x) ist die Funktion
> selbst oder?
Richtig.
>
> Vielen Dank
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Di 17.05.2011 | | Autor: | zocca21 |
Wieso habe ich bei der Berechnung von a0 [mm] 2-\pi [/mm] periodisch und bei der Berechnung von aj [mm] \pi-periodisch.
[/mm]
Ich setze doch beides Mal als Funktion f(x) nun sin(x).
Klar, sin(x) ist 2 [mm] \pi [/mm] periodisch und im Betrag [mm] \pi [/mm] periodisch. Aber warum wechselt es oben in der Aufführung zwischen a0 und aj?
Vielen Dank für die Erläuterung.
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Hallo zocca21,
> Wieso habe ich bei der Berechnung von a0 [mm]2-\pi[/mm] periodisch
> und bei der Berechnung von aj [mm]\pi-periodisch.[/mm]
>
> Ich setze doch beides Mal als Funktion f(x) nun sin(x).
>
> Klar, sin(x) ist 2 [mm]\pi[/mm] periodisch und im Betrag [mm]\pi[/mm]
> periodisch. Aber warum wechselt es oben in der Aufführung
> zwischen a0 und aj?
Bei der Berechnung der [mm]a_{k}[/mm] ist natürlich die Periode [mm]2\pi[/mm] zu berücksichtigen.
Siehe hier: ![[]](/images/popup.gif) Fourierreihe - Allgemine Form
>
> Vielen Dank für die Erläuterung.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Di 17.05.2011 | | Autor: | zocca21 |
ok, mein aj bzw. ak im Ausgangsthread war ja korrekt und dort hab ich angenomen die Periode ist [mm] \pi [/mm] periodisch, da ich ja wegen |sin(x)| mich ja nur sin(x) von 0 bis [mm] \pi [/mm] interessiert.
Ist die Annahme dann aus dem Anfangspost korrekt oder? Bin gerade etwas verwirrt sorry..
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Hallo zocca21,
> ok, mein aj bzw. ak im Ausgangsthread war ja korrekt und
> dort hab ich angenomen die Periode ist [mm]\pi[/mm] periodisch, da
> ich ja wegen |sin(x)| mich ja nur sin(x) von 0 bis [mm]\pi[/mm]
> interessiert.
Hier musst Du schon mit der Formel arbeiten
>
> Ist die Annahme dann aus dem Anfangspost korrekt oder? Bin
> gerade etwas verwirrt sorry..
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:16 Di 17.05.2011 | | Autor: | zocca21 |
Ok. vielen Dank nochmal ;)
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